BAB I HIMPUNAN
1. Pengantar
Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mempelajari objek diskrit. Kata diskrit disini diartikan sebagai objek yang berhingga yang berlainan. Dalam pembahasannya diawali dengan membahas sekilas Kalimat proposisi, tabel kebenaran dan Teori Himpunan dengan objek diskrit beserta beberapa contoh soal dan latihan hal ini dimaksudkan untuk mengingat kembali (review) materi yang telah dipelajari pada logika informatika. Hal ini akan bermanfaat (mendasari) untuk mempelajari materi berikutnya yang berkaitan dengan objek berhingga.
2. Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat memahami pentingnya mempelajari Matematika Diskrit dan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
3.Pokok Bahasan : Himpunan
Sub pokok bahasan
Kalimat Proposisi
Tabel Kebenaran
Penerapan logika dalam Komputer
Himpunan
Konsep Dasar Himpunan
Operasi Himpunan
Perkalian Kartesian
Himpunan Terurut
4. Kegiatan Belajar
Pada bab I ini akan dibahas teori himpunan dengan objek-objek diskrit, akan tetapi sebelum membahas lebih lanjut tentang teori himpunan akan diulang terlebih dahulu sekilas teori logika. Logika merupakan studi penalaran (reasoning) yang difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Hukum Matematk diskrit I-1
Bab I Himpunan
logika dapat membantu membedakan antara argumen yang benar atau tidak. Penerapan logika saat ini berkembang pesat terutama pada ilmu komputer misalnya didalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence) perancangan komputer, sistem digital dll.
Pembahasan akan diawali dengan definisi proposisi dan notasi yang digunakan untuk melambangkan proposisi, kombinasi proposisi, membentuk tabel kebenaran.
4.1. Proposisi
Proposisi(preposition) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah yang digunakan dalam penalaran.
Definisi 1.1.: Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah (false) tetapi tidak sekaligus keduanya.
Contoh 1.1.: Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n + 1 merupakan bilangan ganjil. Hal ini merupakan kalimat yang bernilai benar yang dinamakan proposisi.
Contoh 1.2.: Pernyataan berikut apakah merupakan kalimat proposisi
a. Bilangan 4 habis dibagi 2
b. 5 x 5 = 45
c. Tanggal 27 Mei 2006 di Yogyakarta terjadi Gempa Tektonik yang besar.
d. Gunung merapi terletak di Jawa Barat
Pernyataan a,b,c dan d merupakan kalimat proposisi, pernyataan a dan c bernilai benar sedangkan b dan d bernilai salah.
Penulisan Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p,q,r,…, contoh q = 7 adalah bilangan prima untuk menyatakan q sebagai proposisi “ 7 adalah bilangan prima”
Matematk diskrit I-2
Bab I Himpunan
Proposisi dapat dibentuk dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi dengan menggunakan operator logika seperti dan(and), atau(or) dan tidak (not). Operator ‘dan (and) , atau(or)’ dinamakan operator biner karena operator ini mengoperasikan dua buah proposisi sedangkan operator tidak (not) disebut sebagai operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi. Proposisi majemuk (compound proposition) adalah proposisi baru yang diperoleh dari mengkombinasikan dua atau lebih proposisi dengan operator logika. Sedangkan proposisi atomic adalah proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi. Metode pengkombinasian proposisi telah dibahas George Boole beliau adalah seorang matematikawan dari Inggris.
Proposisi majemuk dikategorikan dalam tiga macam yaitu konjungsi (cojunctions) biasanya di simbolkan dengan ‘∧’ yang berarti ‘dan’ , disjungsi dengan symbol ‘∨’ yang berarti ‘atau’ dan ingkaran (negation) symbol ‘~’ . Ketiga proposisi tersebut didefisisikan sbb:
Definisi 1.2.: Misal p dan q adalah proposisi, maka
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi ‘p ∧q’ adalah proposisi p dan q.
Disnjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi ‘p∨q’ adalah proposisi p atau q.
Ingkaran dari p dinyatakan dengan notasi ‘~p’ adalah proposisi tidak p.
Untuk menuliskan ingkaran dari beberapa literatur ditulis dengan beberapa notasi seperti ‘ ¬p’, ‘ p’, atau ‘not p’)
Contoh. 1.3: Diberikan proposisi berikut
P : Hari ini hari minggu
q : anak sekolah libur
maka ~ p ∧ q , hari ini bukan hari minggu dan anak sekolah libur.
~ p ∨ ~q , hari ini bukan hari minggu atau anak sekolah tidak libur
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah.
Matematk diskrit I-3
Bab I Himpunan
Definisi 1.3: Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kejadian semua nilai kebenaran dari proposisi atomiknya, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Contoh 1.4 : p : 20 merupakan bilangan bulat
q : bilangan bulat genap habis dibagi dua
p dan q bernilai benar maka disjungsi p dengan q, p∨q : 20 merupakan bilangan bulat atau bilangan bulat genap habis dibagi dua adalah benar
4.2. Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran (truth table) menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomic. Tabel kebenaran konjungsi, disnjungsi, ingkaran dinyatakan sbb :
Tabel 1.
Keterangan : T adalah True (benar), F adalah False(salah)
p∧q dibaca p dan q
p∨q dibaca p atau q
Tabel Kebenaran Konjungsi (∧)
p
q
p∧q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
Tabel 2.
Tabel Kebenaran
Disjungsi (∨)
p
q
p∨q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Tabel 3.
Tabel Kebenaran ingkaran [ ∼ ….]
p
∼q
T
T
F
T
Matematk diskrit I-4
Bab I Himpunan
Ekivalen, dua buah proposisi majemuk dapat dikombinasikan dengan berbagai cara dengan menghasilkan tabel kebenaran yang sama, maka kedua proposisi tersebut disebut ekivalen.
Definisi 1.4: Dua buah proposisi majemuk M(p,q,r,…) dan N(p,q,r,…) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan dengan M(p,q,r,…) ⇔ N(p,q,r,…) jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang identik.
Disjungsi Eksklusif , kata ‘atau’ (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara, pertama kata ‘atau’ digunakan secara inclusive or yang diartikan p atau q atau keduanya. Hal ini dimaksudkan bahwa disjungsi dengan operator ‘atau ‘ bernilai benar jika salah satu dari proposisi atomiknya benar atau keduanya benar . Cara kedua ‘atau’ digunakan secara eksklusif(exlusive or ) yaitu dalam bentuk ‘ p atau q tetapi tidak keduanya’ yang berarti disjungsi p, q bernilai benar hanya jika salah satu dari proposisi atomicnya benar (bukan keduanya)
Definisi 1.5 : Apabila p dan q adalah proposisi, maka ‘exlusive or’ p dan q dinyatakan dengan notasi p ⊕ q. Proposisi bernilai benar hanya bila salah satu dari p dan q benar selain itu nilainya salah.
Tabel 4.
Tabel Kebenaran
Exclusive or ( ⊕ )
p
q
p ⊕ q
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Implikasi disebut juga proposisi bersyarat atau kondisional biasanya dinyatakan dengan ekspresi ‘apabila p maka q’ yang dilambangkan p → q. Proposisi p disebut
Matematk diskrit I-5
Bab I Himpunan
hipotesis (antesenden/kondisi) sedangkan q disebut konklusi(konsekuen) tabel kebenaran untuk implikasi dinyatakan sbb:
Tabel 5.
Tabel Kebenaran
Implikasi
p
q
p→q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
4.3. Penerapan logika dalam Komputer
Dalam bahasa pemrograman umumnya di sediakan tipe data Boolean untuk data yang bertipe logika. Tipe data Boolean hanya mempunyai dua buah konstanta nilai yaitu true dan false. Operasi Boolean yang dinyatakan dalam ekspresi logika adalah : AND,OR XOR dan NOT, ekspresi Bolean tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai true dan false.
Contoh 1.5: Misal a, b c merupakan perubah Bolean dalam bahasa Pascal maka pernyataan berikut benar
a or b
a or b and c
ekspresi logikanya sbb :
a ∨ b
a ∨ b ∧ c
Penggunaan lain seperti pada operasi bilangan pada komputer yang dinyatakan dengan operasi bit.
Matematk diskrit I-6
Bab I Himpunan
Operasi bit
Operasi Logika
1 ∨ 0
T ∨ F
1 ∧ 1
T ∧ T
~ 1
~ T
0 ⊕ 1
F ⊕ T
Angka 1 pada kolom operasi bit menyatakan nilai benar (true) dan 0 salah (false) sedangkan pada kolom Operasi Logika, T menyatakan nilai benar (true) dan F salah (false). Pada operasi bit dikenal dengan operasi bitwise, operasi bit biasa digunakan untuk mengkonversi bilangan desimal ke bentuk biner supaya bilangan dikenal komputer, konversi dari data analog ke data digital.
Contoh 1.6 : Diberikan rangkaian bit 110011 dengan 100110
a. dikenai operasi bitwise ‘and’
b. dikenai operasi bitwise ‘or’
maka untuk operasi bitwise ‘and’ rangkaian bit menjadi 100010 dan operasi bitwise ‘or’ 110111
4.4. Konsep Dasar Himpunan.
Himpunan merupakan konsep dasar pada semua cabang matematika. Secara intuitif himpunan merupakan kumpulan, klas dari objek- objek. Objek dapat berupa bilangan, orang, huruf. Objek-objek tersebut disebut dengan elemen atau anggota atau unsur.
Definisi 1.6 : Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai syarat keanggotaan tertentu.
Matematk diskrit I-7
Bab I Himpunan
Untuk menyajikan himpunan dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya disa- jikan dengan :
1. Mendaftar anggotanya, apabila himpunannya berhingga.
Contoh 1.7 : Mahasiswa yang ikut kelompok studi matakuliah matematika diskrit
P = { Marsanda, Tomingse, Sahanaya, Marisa }.
Ini menggambarkan bahwa himpunan P mempunyai empat anggota yaitu Marsanda, Tomingse, Sahanaya, Marisa .
1. Syarat ke anggotaannya, apabila himpunannya besar (tak berhingga)
Contoh 1.8: D = { x / 1< x < 20 ; x : bilangan bulat dan habis dibagi 4 }.
Himpunan Kosong :
Himpunan yang tidak memiliki satu anggotapun disebut dengan himpunan kosong atau void set atau emty set yang dilambangkan dengan { } dan φ.
Contoh 1.9: H:{x/x adalah mahasiswa di Indonesia yang terbang ke bulan tahun 2007}
Kardinalitas
Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga, maka
jumlah elemen dari himpunan A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi : n(A) atau |A|
Contoh 1.10:
A = { x/x merupakan bilangan Asli < 10 } , maka kardinal dari himpunan A, adalah n(A)=|A|= 9 dimana A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Matematk diskrit I-8
Bab I Himpunan
Himpunan Bagian :
Himpunan bagian dinotasikan ⊂.
Jika setiap anggota himpunan N juga menjadi anggota himpunan M maka himpunan N merupakan himpunan bagian dari M dinyatakan N ⊂ M.
Contoh 1.11:
P = { x/ x tim olah raga basket di ISTA}
Q = { semua mahasiswa ISTA }
Maka P ⊂ Q ( P merupakan himpunan bagian dari Q).
Himpunan sama :
Dua himpunan P dan Q dikatakan sama (equal) jika mereka mempunyai unsur-unsur yang sama.
Contoh 1.12:
P = { x/x bilangan genap positif lebih kecil atau sama dengan 10 }.
Q = { x / x= y+z dengan y ∈ {1,3,5} dan z ∈{1,3,5} }.
Himpunan Saling asing
Dua himpunan M dan N dikatakan saling asing apabila elemen dari kedua himpunan tersebut tidak ada yang sama.
Diagram Venn
Diagram Venn merupakan ilustrasi grafis untuk menyatakan hubungan antara himpunan-himpunan digunakan diagram Venn(Venn-Euler). Kata diagram Venn disini menyatakan diagram tersebut yang mengenalkan bernama John Venn seorang seorang matematikawan dari Inggris pada tahun 1881. Pada beberapa buku himpunan semesta (S) di nyatakan persegi atau persegi panjang dengan himpunan didalamnya (himpunan bagian) dinyatakan dengan lingkaran. Pada buku ini Himpunan semesta digunakan persegi atau persegi panjang dan himpunan bagiannya lingkaran.
Matematk diskrit I-9
Bab I Himpunan
Contoh 1.13 : Semesta pembicaraannya S merupakan himpunan semua bilangan bulat, misalkan himpunan A dan B termuat dalam himpunan S, A ={ -2,0,1,3,4,5,7}, B = { -1,0,2,5,8} maka ilustrasi grafis dinyatakan sbb:
4.5. Operasi Himpunan
Pada system bilangan dipelajari operasi perkalian, penjumlahan pengurangan pada dua bilangan sedangkan dalam bagian ini dibahas Operasi gabungan(Union), Irisan (intersection) dan beda atau selisih (difference) pada dua himpunan adalah sebagai berikut.
a. Gabungan(Union)
Gabungan Dua himpunan P & Q dinotasikan P∪Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya menjadi anggota himpunan P atau Q atau keduanya.
Contoh 1.14 : Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { c,d }
maka himpunan P ∪ Q ={ a, b,e } ∪ { c, d }
= { a, b, c, d, e }
Ilustrasi grafis
Matematk diskrit I-10
Bab I Himpunan
b. Irisan
Irisan dua himpunan P dan Q, dilambangkan dengan P ∩ Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan anggota keduanya.
Contoh 1.15: Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { b,c,d }
maka himpunan P ∩ Q ={ a, b, c, e } ∩ { b,c,d }
= { b, c }
Ilustrasi grafis
c. Beda (difference)
Beda atau selisih antara dua himpunan P dan Q dinyatakan P - Q adalah himpunan yang mengandung unsur-unsur yang berada tepat di dalam P yang tidak ada di dalam Q.
Contoh 1.16 :
a). Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { b, c, e, f ,g }
maka himpunan P – Q = { a, b, c, d, e } – { b, e, f ,g }
= { a ,c, d }
Ilustrasi grafis
Matematk diskrit I-11
Bab I Himpunan
b). Diberikan himpunan P dan Q dengan
P : Himpunan mahasiswa mengambil mata kuliah diskrit
Q : Himpunan mahasiswa (diantara yang mengambil matakuliah matematika diskrit) yang dikirim mengikuti lomba sepak bola pada saat ujian mata-kuliah tersebut.
maka
P - Q adalah himpunan beranggotakan mahasiswa yang mengambil matakuliah diskrit tetapi tidak dikirim
d. Komplemen
Notasi komplemen dari himpunan A adalah AC atau A, Semesta himpunan dinotasikan U(Universal) atau S (Semesta pembicaraan ).
e. Beda Setangkup ( symetric difference )
Beda setangkup antara himpunan P dan Q dilambangkan P ⊕ Q adalah himpunan yang mengandung tepat semua unsur yang ada didalam P atau didalam Q tetapi tidak didalam keduanya.
P ⊕ Q = ( P ∪ Q ) - ( P ∩ Q ) ,
Contoh 1.17 :
Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { b, c, f ,g }
Matematk diskrit I-12
Bab I Himpunan
maka P ⊕ Q = { a, b, c, e } ⊕ { b, c, f ,g }
= { a, e, f , g }
Ilustrasi grafis
e. Himpunan kuasa (powerset)
Himpunan kuasa (powerset) dari himpunan A dilambangkan P(A) adalah semua himpunan bagian dari himpunan A.
Notasi himpunan kuasa P(A) atau 2A .
Contoh 1.18 :
a). Diberikan himpunan A = { a, b } maka himpunan kuasanya
P(A) = { { } , { a } , { b } , { a, b } }
banyak elemen P(A) = 22
b). Diberikan himpunan A ={ a, b, c } maka himpunan kuasanya
P (A) = { { }, { a }, { b}, { c }, { a, b }, { a, c }, { a, b, c } }
4.6. Perkalian Kartesian
Perkalian kartesian (cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin
Matematk diskrit I-13
Bab I Himpunan
terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi: A x B = { (a,b) / a ∈A dan b ∈ B}
Contoh 1.19: Jika himpunan A = { 3, 5, 6 } dan B = (c, d) maka perkalian kartesian A x B = {(3, c), (3, d), (5, c ), (5, d), (6, c), (6, d)}.
4.7. Himpunan Terurut
1. Didefinisikan pengertian pasangan - pasangan terurut (ordered pair) adalah pasangan benda-benda yang ditata menurut urutan tertentu.
Contoh 1.20:
a) Notasi [a,b] dan [b,a] adalah dua pasangan terurut yang berbeda.
b) [a,a] juga merupakan pasangan terurut misalkan mahasiswa a memperoleh nilai tertinggi dalam dua mata ujian.
2. Ordered triple adalah pasangan terurut [[a,b],c] komponen yang pertama juga merupakan pasangan terurut.
3. Ordered quadruple adalah suatu pasangan terurut [[[a,b],c],d] dengan koponen pertama merupakan pasangan terurut ganda tiga.
4. Ordered n tuple suatu pasanganterurut dengan komponen pertamanya berupa suatu pasangan terurut ganda (n-1).
4.8. Himpunan ganda
Himpunan ganda (Multiset) adalah himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda). Multiplitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset.
Matematk diskrit I-14
Bab I Himpunan
Contoh 1.21.
M={ 0,1,01,1,0,001,0001,00001, 000001 }
maka multiplitas elemen 0 adalah 5
4.8.1. Operasi antara Dua buah Multiset :
Diberikan himpunan P dan Q adalah multiset, maka :
1. P ∪ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multisiplitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh 1.22 :
Diberikan himpunan P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n ,s,s,s,f }
maka : P ∪ Q = { n,n,n, s,s,s,s e,e,f }
2. P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh 1.23 :
Diberikan himpunan P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n,s,s,s,f }
maka :
P ∩ Q = { n,n, s,s,s }
3. P − Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas elemen pada himpunan P dikurangi multiplitas elemen pada himpunan Q, bernilai nol apabila selisihnya nol atau negatif.
Contoh 1.24 :
Diberikan himpunan P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j} Q = { n,n,s,s,s, m,m, k, k, f }
maka :
P - Q = { n, j }
Matematk diskrit I-15
Bab I Himpunan
4. P + Q jumlahan dua himpunan ganda adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan multiplitas pada himpunan P dan Q.
Contoh 1.25 :
Diberikan himpunan P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j} Q = { n,n,s,s, m}
maka :
P + Q = { n, n, n, n, n, s, s, s, s, m, m, k, k, j }
Resume :
1. Proposisi(preposition) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah yang digunakan dalam penalaran.
2. Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kejadian. Semua nilai kebenaran dari proposisi atomiknya, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
3. Ekivalen untuk dua buah proposisi majemuk dapat dikombinasikan dengan berbagai cara dengan menghasilkan tabel kebenaran yang sama, maka kedua proposisi tersebut disebut ekivalen.
4. Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai syarat keanggotaan tertentu.
Penyajikan himpunan dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya
disajikan dengan :
a. Mendaftar anggotanya, apabila himpunannya berhingga.
Himpunan bilangan Asli kurang dari 8
A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
b. Syarat ke anggotaannya, apabila himpunannya besar (tak berhingga)
Contoh: A = { x / x ∈ Himpunan bilangan riil}
Matematk diskrit I-16
Bab I Himpunan
5. Perkalian kartesian (cartesian products) dari himpunan A dan B dinyatakan
A x B = { (a,b) / a ∈A dan b ∈ B}
Referensi :
1. Johnsonbaugh, 2005, Discrete Mathematics , Prentice Hall.
2. Liu C.L , 1997, Dasar- dasar Matematika Diskret Mc. Graw-Hill Inc.
3. Munir R, 2005, Matematika Diskrit', Informatika Bandung.
4. Siang J.J, 2002, Matematika Diskrit dan Apliksinya pada Ilmu Komputer, Andi Offset Yogyakarta.
5. Susana S.EEp., 2004, Discrete Mathematics , Thomson Brook Learning Singapore.
Latihan:
Tuliskan tabel kebenaran untuk soal 1.1-1.3
1.1. ~p ∧ q
1.2. ~(p ∧ q) ∨ ( p ∨ q)
1.3. p ∧ (~q ∨ r)
1.4. Jika notasi ⊕ menyatakan Exclusive or , dan diberikan pernyataan (p ⊕ q) ≡
(p ∧ q) ∨ ~ ( p ∨ q) serta tabel kebenaran Exclusive or berikut
Tabel Kebenaran Exclusive or ( ⊕ )
p
q
p ⊕ q
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
maka tentukan
a). Bentuk sederhana dari p ⊕ p dan ( p ⊕ p ) ⊕ p
b) Apakah pernyataan ( p ⊕ q ) ⊕ r sama dengan pernyataan p ⊕ (q ⊕ r)
Matematk diskrit I-17
Bab I Himpunan
1.5. Selidiki apakah pernyataan berikut benar atau salah
a). {∅} ⊆ ∅
b). {a,b}⊆ ( a,b, {{ a,b}}}
c). x ∈ {x}
d). x}⊆ {x}
e). {∅} ⊆ {x}
1.6. Jika A = {a,b,{a,b},∅} dan B = {a,{a}, d, e} tentukan himpunan berikut
a). A - ∅
b). A ⊕ B
c) ∅ - A
d) P(A), A ∩ P(A)
1.7. Diketahui A = { x, | x 2 + x - 6} tentukan anggota himpunan A.
1.8. Diketahui A = { + , -}, B = { 00, 01, 10, 11}, tentukan himpunan A x B.
1.9. Diketahui A = { 1, 2 }, B = { a, b, c}, tentukan himpunan
a) Anggota himpunan A x B.
b) Anggota himpunan A x A.
c) Anggota himpunan B x B.
d) Anggota himpunan B x A
1.10. Diantara 50 mahasiswa pada suatu klas , 26 orang memperoleh nilai A dari ujian pertama dan 21 orang memperoleh nilai A dari ujian kedua. Jika 17 orang mahasiswa tidak memperoleh nilai A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian tersebut? Matematk diskrit I-18
Bab I Himpunan
1.11. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3 }dan B = { 2, 3, 4, 5 } tentukan himpunan
a). A ⊕ B
b). Gambarkan diagram Veennya.
1.12. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3 }, tentukan anggota dari P(A)
1.13. Diketahui multiset P = ( 0,0,1,1,1,1,2,2,3} dan Q = ( 0,1,2,3,3 ,3,3,4,4}. Tentukan :
a). P ∪ Q,
b). P ∩ Q.
c). P - Q.
d). P + Q.
Matematk diskrit I-19
